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In der Mathematik und Mechanik dient die Euler-Rodrigues Formel nach Leonhard Euler und Olinde Rodrigues der Beschreibung einer Drehung in drei Dimensionen. Mit vier Euler-Parametern a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} , für die a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1} gilt, definiert

Q := ( a 2 + b 2 − − c 2 − − d 2 2 ( b c − − a d ) 2 ( b d + a c ) 2 ( b c + a d ) a 2 + c 2 − − b 2 − − d 2 2 ( c d − − a b ) 2 ( b d − − a c ) 2 ( c d + a b ) a 2 + d 2 − − b 2 − − c 2 ) {\displaystyle Q:={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}}

eine Drehmatrix. Diese Formel basiert auf der Rodrigues-Formel, benutzt aber eine andere Parametrisierung.

Benutzt wird die Formel in Flugsimulatoren und Computerspielen.

• Eigenschaften

• Symmetrie

• Vektorformulierung

• Drehwinkel und Drehachse

• Parameter einer Drehmatrix

• Verknüpfung zweier Rotationen

• Verbindung mit anderen Konstrukten

• Quaternionen

• Pauli-Matrizen

• Siehe auch

• Einzelnachweise

Die Parameter ( a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} ) und ( − − a , − − b , − − c , − − d {\displaystyle -a,-b,-c,-d} ) beschreiben dieselbe Rotation, was daran liegt, dass sie in der Q-Matrix immer paarweise miteinander multipliziert werden und so die Minus-Zeichen neutralisiert werden. Von dieser Symmetrie abgesehen, definieren vier Parameter die Drehmatrix in eindeutiger Weise.

Aus den Parametern b , c , d {\displaystyle b,c,d} kann ein Vektor φ φ → → = ( b , c , d ) ⊤ ⊤ {\displaystyle {\vec {\varphi }}=(b,c,d)^{\top }} gebildet werden. Darin bezeichnet das hochgestellte ⊤ ⊤ {\displaystyle \top } die transponierte Matrix, sodass φ φ → → {\displaystyle {\vec {\varphi }}} ein Spaltenvektor ist. Dann gilt für alle x → → {\displaystyle {\vec {x}}} :

Q x → → = x → → + 2 a φ φ → → × × x → → + 2 φ φ → → × × ( φ φ → → × × x → → ) . {\displaystyle Q{\vec {x}}={\vec {x}}+2a{\vec {\varphi }}\times {\vec {x}}+2{\vec {\varphi }}\times ({\vec {\varphi }}\times {\vec {x}}).}

So motiviert sich die Bezeichnung für a {\displaystyle a} als skalarer Parameter und b , c , d {\displaystyle b,c,d} als Vektorparameter. Mit der Kreuzproduktmatrix

[ φ φ → → ] × × = ( 0 − − d c d 0 − − b − − c b 0 ) {\displaystyle [{\vec {\varphi }}]_{\times }={\begin{pmatrix}0&-d&c\\d&0&-b\\-c&b&0\end{pmatrix}}}

zeigt sich

Q = E 3 + 2 a [ φ φ → → ] × × + 2 [ φ φ → → ] × × [ φ φ → → ] × × = ( 2 a 2 − − 1 ) E 3 + 2 a [ φ φ → → ] × × + 2 φ φ → → φ φ → → ⊤ ⊤ {\displaystyle Q=E_{3}+2a[{\vec {\varphi }}]_{\times }+2[{\vec {\varphi }}]_{\times }[{\vec {\varphi }}]_{\times }=(2a^{2}-1)E_{3}+2a[{\vec {\varphi }}]_{\times }+2{\vec {\varphi }}{\vec {\varphi }}^{\top }}

Darin ist E 3 {\displaystyle E_{3}} die Einheitsmatrix. Diese entsteht bei φ φ → → = 0 → → {\displaystyle {\vec {\varphi }}={\vec {0}}} mit den Euler-Parametern ( a , b , c , d ) = ( ± ± 1 , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (a,b,c,d)=(\pm 1,0,0,0)} . Bei 180°-Drehungen ist a = 0 {\displaystyle a=0} und | φ φ → → | = 1 {\displaystyle |{\vec {\varphi }}|=1} .

Jede Drehung in drei Dimensionen ist eindeutig bestimmt durch einen Drehwinkel ϕ ϕ {\displaystyle \phi } und eine Drehachse, die durch einen Einheitsvektor e → → = ( e x , e y , e z ) ⊤ ⊤ {\displaystyle {\vec {e}}=(e_{x},e_{y},e_{z})^{\top }} mit e x 2 + e y 2 + e z 2 = 1 {\displaystyle e_{x}^{2}+e_{y}^{2}+e_{z}^{2}=1} definiert wird. Dann lauten die Euler-Parameter der Drehung:

a = cos ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ / 2 ) {\displaystyle a=\cos(\phi /2)}

b = sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ / 2 ) e x {\displaystyle b=\sin(\phi /2)e_{x}}

c = sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ / 2 ) e y {\displaystyle c=\sin(\phi /2)e_{y}}

d = sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ / 2 ) e z {\displaystyle d=\sin(\phi /2)e_{z}}

Wenn ϕ ϕ {\displaystyle \phi } um eine volle 360°-Drehung zunimmt, entstehen die Euler-Parameter ( − − a , − − b , − − c , − − d ) {\displaystyle (-a,-b,-c,-d)} , die – wie oben bereits bemerkt – dieselbe Drehung repräsentieren.

Der Vektorparameter lautet hier also φ φ → → = sin ⁡ ⁡ ( φ φ / 2 ) e ^ ^ {\displaystyle {\vec {\varphi }}=\sin(\varphi /2){\hat {e}}} . Mit diesen Parametern und den Doppelwinkelfunktionen entsteht die Rodrigues-Formel für die Drehmatrix:

Q = E 3 + sin ⁡ ⁡ ( φ φ ) [ e ^ ^ ] × × + ( 1 − − cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ ) [ e ^ ^ ] × × [ e ^ ^ ] × × {\displaystyle Q=E_{3}+\sin(\varphi )[{\hat {e}}]_{\times }+(1-\cos \phi )[{\hat {e}}]_{\times }[{\hat {e}}]_{\times }}

Ist die Drehmatrix Q {\displaystyle Q} gegeben und sind die Euler-Parameter gesucht, dann werden sie wie folgt gewonnen.cite-ref-1[1] Hat Q {\displaystyle Q} nur positive Diagonalelemente, dann ist

Sp ⁡ ⁡ ( Q ) = 3 a 2 − − b 2 − − c 2 − − d 2 = 4 a 2 − − 1 → → a = ± ± 1 2 Sp ⁡ ⁡ ( Q ) + 1 {\displaystyle \operatorname {Sp} (Q)=3a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}=4a^{2}-1\quad \rightarrow \quad a=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\operatorname {Sp} (Q)+1}}}

Die restlichen Parameter entstehen aus

q i = Q k j − − Q j k 4 a {\displaystyle q_{i}={\frac {Q_{kj}-Q_{jk}}{4a}}}

mit

i 1 2 3 qi b c d j 2 3 1 k 3 1 2

Sind teilweise negative Diagonalelemente vorhanden, dann sei Q i i {\displaystyle Q_{ii}} das größte Diagonalelement und

q i = 1 2 1 + 2 Q i i − − Sp ⁡ ⁡ ( Q ) {\displaystyle q_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+2Q_{ii}-\operatorname {Sp} (Q)}}}

Mit diesem Wert und j , k {\displaystyle j,k} aus obiger Tabelle ermittelt sich

a = ± ± Q k j − − Q j k 4 q i , q j = Q j i + Q i j 4 q i , q k = Q k i + Q i k 4 q i {\displaystyle a=\pm {\frac {Q_{kj}-Q_{jk}}{4q_{i}}},\quad q_{j}={\frac {Q_{ji}+Q_{ij}}{4q_{i}}},\quad q_{k}={\frac {Q_{ki}+Q_{ik}}{4q_{i}}}}

Berechnung der Drehmatrix einmal mit a {\displaystyle a} und einmal mit − − a {\displaystyle -a} und Vergleich mit der gegebenen Drehmatrix liefert schließlich das Vorzeichen von a {\displaystyle a} .

Die Verknüpfung zweier Rotationen ergibt wieder eine Rotation. Aus Euler-Parametern a 1 , b 1 , c 1 , d 1 {\displaystyle a_{1},b_{1},c_{1},d_{1}} für die erste Drehung Q 1 {\displaystyle Q_{1}} und a 2 , b 2 , c 2 , d 2 {\displaystyle a_{2},b_{2},c_{2},d_{2}} für die zweite Drehung Q 2 {\displaystyle Q_{2}} ergibt sich die kombinierte Drehung Q 2 Q 1 {\displaystyle Q_{2}Q_{1}} aus erster Drehung und anschließender zweiter Drehung aus den Euler-Parametern

a = a 1 a 2 − − b 1 b 2 − − c 1 c 2 − − d 1 d 2 {\displaystyle a=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2}}

b = a 1 b 2 + b 1 a 2 − − c 1 d 2 + d 1 c 2 {\displaystyle b=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2}}

c = a 1 c 2 + c 1 a 2 − − d 1 b 2 + b 1 d 2 {\displaystyle c=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2}}

d = a 1 d 2 + d 1 a 2 − − b 1 c 2 + c 1 b 2 {\displaystyle d=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}} .

Auch hier gilt wieder a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1} , was durch Einsetzen bestätigt werden kann. Letztere Identität hat über

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 = ( a 1 2 + b 1 2 + c 1 2 + d 1 2 ) ( a 2 2 + b 2 2 + c 2 2 + d 2 2 ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1=(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}+d_{2}^{2})}

einen direkten Bezug zum Euler’schen Vier-Quadrate-Satz und den Quaternionen.

→

Hauptartikel

:

„Drehungen im dreidimensionalen Raum“ im Artikel Quaternion

Die Euler-Parameter können als Komponenten einer Einheitsquaternion angesehen werden. Der Parameter a {\displaystyle a} ist ihr reeller Anteil und b , c , d {\displaystyle b,c,d} ihr imaginärer. Mit den Einheitsquaternionen q 1 , 2 = a 1 , 2 + i b 1 , 2 + j c 1 , 2 + k d 1 , 2 {\displaystyle q_{1,2}=a_{1,2}+ib_{1,2}+jc_{1,2}+kd_{1,2}} , die aus den Euler-Parametern zweier Drehungen Q 1 , 2 {\displaystyle Q_{1,2}} bestehen, können die Euler-Parameter der kombinierten Drehung Q 2 Q 1 {\displaystyle Q_{2}Q_{1}} elegant mit dem Produkt der Quaternionen berechnet werden:

a + i b + j c + k d = q 1 q 2 {\displaystyle a+ib+jc+kd=q_{1}q_{2}}

Hier sind i , j {\displaystyle i,j} und k {\displaystyle k} die komplex-imaginären Einheiten, die sich mit den Hamilton-Regeln i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1} nicht kommutativ verknüpfen. Beispielsweise ist j k = − − k j = i {\displaystyle jk=-kj=i} .

Die unitären 2 × 2-Matrizen

E 2 = ( 1 0 0 1 ) = σ σ 0 , σ σ x = ( 0 1 − − 1 0 ) = i σ σ 2 σ σ y = ( 0 i i 0 ) = i σ σ 1 , σ σ z = ( i 0 0 − − i ) = i σ σ 3 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\sigma _{0},&\quad \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma _{2}\\\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma _{1},&\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma _{3}\end{aligned}}}

mit der imaginären Einheit i 2 = − − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} der komplexen Zahlen hängen mit den Pauli-Matrizen σ σ 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle \sigma _{0,1,2,3}} zusammen, die im Standardmodell der Elementarteilchenphysik und in der Quantenmechanik verwendet werden.

Die Matrizen σ σ x , y , z {\displaystyle \sigma _{x,y,z}} transformieren sich ähnlich obiger Hamilton-Regeln der komplex-imaginären Einheiten der Quaternionen:

σ σ x 2 = σ σ y 2 = σ σ z 2 = σ σ x σ σ y σ σ z = − − E 2 {\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}\sigma _{y}\sigma _{z}=-E_{2}}

Entsprechend können diese unitären 2 × 2-Matrizen ebenfalls zur Beschreibung von Rotationen herangezogen werden. Details dazu findet sich bei Quaternion, SU(2) und Spin-Gruppe.

Die zu einer Rotation korrespondierende unitäre 2 × 2-Matrix lautet unter Verwendung der Euler-Parameter:

U = ( a + i d b + i c − − b + i c a − − i d ) = a E 2 + b σ σ x + c σ σ y + d σ σ z = a σ σ 0 + i b σ σ 2 + i c σ σ 1 + i d σ σ 3 {\displaystyle U={\begin{pmatrix}\ \ \,a+\mathrm {i} d&b+\mathrm {i} c\\-b+\mathrm {i} c&a-\mathrm {i} d\end{pmatrix}}=a\,E_{2}+b\,\sigma _{x}+c\,\sigma _{y}+d\,\sigma _{z}=a\,\sigma _{0}+\mathrm {i} b\,\sigma _{2}+\mathrm {i} c\,\sigma _{1}+\mathrm {i} d\,\sigma _{3}}

• Spinor

• Orthogonaler Tensor

cite-note-11. ↑ Axel Volkwein: Numerische Simulation von flexiblen Steinschlagschutzsystemen. Hrsg.: Institut für Baustatik und Konstruktion, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich. vdf Hochschulverlag AG, 2004, ISBN 978-3-7281-2986-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 30. Juni 2017]).